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Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät - Jahrgang 2014

 

Titel Stochastic parameterization: a rigorous approach to stochastic three-dimensional primitive equations
Autor Michael Weniger
Publikationsform Dissertation
Abstract The atmosphere is a strongly nonlinear and infinite-dimensional dynamical system acting on a multitude of different time and space scales. A possible problem of numerical weather prediction and climate modeling using deterministic parameterization of subscale and unresolved processes is the incomplete consideration of scale interactions. A stochastic treatment of these parameterizations bears the potential to improve the simulations and to provide a better understanding of the scale interactions of the simulated atmospheric variables. The scientific community that is dealing with stochastic meteorological models can be divided into two groups: the first one uses pragmatic approaches to improve existing complex models. The second group pursues a mathematical rigorous way to develop stochastic models, which is currently limited to conceptual models. The overall objective of this work is to narrow the gap between pragmatic approaches and the mathematical rigorous methods. Using conceptual climate models, we point out that a stochastic formulation must not be chosen arbitrarily but has to be derived based on the physics of the system at hand. Equally important is a rigorous numerical implementation of the resulting stochastic model. The dynamics of sub grid and unresolved processes are often described by time continuous stochastic processes, which cannot be treated with deterministic numerical schemes. We show that a stochastic formulation of the three-dimensional primitive equations fits in the mathematical framework of abstract stochastic fluid models. This allows us to utilize recent results regarding existence and uniqueness of solutions of such systems. Based on these theoretical results we propose a Galerkin scheme for the discretization of spatial and stochastic dimensions. Using the framework of mild solutions of stochastic partial differential equations we are able to prove quantitative error bounds and strong mean square convergence. Under additional assumptions we show the convergence of a numerical scheme which combines the Galerkin approximation with a temporal discretization.
Zusammenfassung Stochastische Parametrisierung: Ein Rigoroser Ansatz für die Stochastischen Drei-Dimensionalen Primitiven Gleichungen
Die Atmosphäre ist ein von starken Nichtlinearitäten geprägtes, unendlich-linebreak dimensionales dynamisches System, dessen Variablen auf einer Vielzahl verschiedener Raum- und Zeitskalen interagieren. Ein potentielles Problem von Modellen zur numerischen Wettervorhersage und Klimamodellierung, die auf deterministischen Parametrisierungen subskaliger Prozesse beruhen, ist die unzureichende Behandlung der Interaktion zwischen diesen Prozessen und den Modellvariablen. Eine stochastische Beschreibung dieser Parametrisierungen hat das Potential die Qualität der Simulationen zu verbessern und das Verständnis der Skalen-Interaktion atmosphärischer Variablen zu vertiefen. Die wissenschaftlich Gemeinschaft, die sich mit stochastischen meteorologischen Modellen beschäftigt, kann grob in zwei Gruppen unterteilt werden: die erste Gruppe ist bemüht durch pragmatische Ansätze bestehende, komplexe Modelle zu erweitern. Die zweite Gruppe verfolgt einen mathematisch rigorosen Weg, um stochastische Modelle zu entwickeln. Dies ist jedoch aufgrund der mathematischen Komplexität bisher auf konzeptionelle Modelle beschränkt. Das generelle Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Kluft zwischen den pragmatischen und mathematisch rigorosen Ansätzen zu verringern. Die Diskussion zweier konzeptioneller Klimamodelle verdeutlicht, dass eine stochastische Formulierung nicht willkürlich gewählt werden darf, sondern aus der Physik des betrachteten Systems abgeleitet werden muss. Ebenso unabdingbar ist eine rigorose numerische Implementierung des resultierenden stochastischen Modells. Diesem Aspekt wird besondere Bedeutung zu Teil, da dynamische subskalige Prozesse oftmals durch zeitabhängige stochastische Prozesse beschrieben werden, die sich nicht mit deterministischen numerischen Methoden behandeln lassen. Wir zeigen auf, dass eine stochastische Formulierung der dreidimensionalen primitiven Gleichungen im mathematischen Rahmen abstrakter stochastischer Fluidmodelle behandelt werden kann. Dies ermöglicht die Anwendung kürzlich gewonnener Erkenntnisse bezüglich Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Wir stellen einen auf dieser theoretischen Grundlage basierenden Galerkin Ansatz zur Diskretisierung der räumlichen und stochastischen Dimensionen vor. Mit Hilfe sogenannter milder Lösungen der stochastischen partiellen Differentialgleichungen leiten wir quantitative Schranken der Diskretisierungsfehler her und zeigen die starke Konvergenz des mittleren quadratischen Fehlers. Unter zusätzlichen Annahmen leiten wir die Konvergenz eines numerischen Verfahrens her, das den Galerkin Ansatz um eine zeitliche Diskretisierung erweitert.
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© Universitäts- und Landesbibliothek Bonn | Veröffentlicht: 02.04.2014