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Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät - Jahrgang 2007

 

Titel Modellierung und Simulation des effektiven Verhaltens von Grenzflächen in Metalllegierungen
Autor Martin Lenz
Publikationsform Dissertation
Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit diskutiert die Modellierung und die numerische Simulation von Phasenübergängen bei der Ostwald-Reifung entmischter Metalllegierungen und in magnetischen Formgedächtnis-Materialien. Dabei werden die Phasenübergänge auf der kontinuierlichen Skala mit Methoden der Elastizitätstheorie beschrieben.
Der Vergröberungsprozess der Partikelstruktur einer entmischten Metalllegierung lässt sich als Gradientenfluss betrachten. Dabei bewegt sich die Partikelmenge auf der Mannigfaltigkeit aller möglichen Partikelkonfigurationen in der Richtung des steilsten Abstiegs einer Energie, die Grenzflächenenergie und Elastizität beinhaltet, in Bezug auf eine Metrik, die den Diffusionsmechanismus beschreibt. Die Einschränkung dieser Evolution auf die Untermannigfaltigkeit rechteckiger, an den Koordinatenachsen ausgerichteter Partikel, wie sie durch die Anisotropie des Elastizitätstensors bevorzugt werden, ergibt ein reduziertes Modell, dass die Evolution entsprechend geformter Partikel beschreibt.
Zur numerischen Simulation beider Modelle wird die Methode der Randelemente verwendet. Die vorkommenden Integraloperatoren werden durch hierarchische Matrizen approximiert, diese Approximation liefert auch ein geeignetes Verfahren zur Vorkonditionierung. Um die Kopplung der Zeitschrittweite an die Seitenlängen des jeweils kleinsten Partikels zu vermeiden, werden um kleine Partikel lokalisierte Zeitschritte durchgeführt. Der Abschirmeffekt erlaubt es dabei, nur kleine Umgebungen der betroffenen Partikel zu betrachten. Auf diese Weise erhält man ein effizientes Verfahren zur Simulation beider Modelle; beim reduzierten Modell ist die Simulation entsprechend größerer Partikelzahlen möglich. Durch Vergleichsrechnungen wird verifiziert, dass das reduzierte Modell viele wesentliche qualitative und quantitative Eigenschaften des vollen Modells abbildet.
Magnetische Formgedächtnis-Materialien kann man auf der kontinuierlichen Skala mit einer Kombination aus Elastizitätstheorie und Mikromagnetismus modellieren. Dabei koppelt ein diskreter Phasenparameter die Varianten der elastischen Verzerrung an die magnetische Anisotropie; die Anisotropie bevorzugt eine Magnetisierung in der Richtung, in der sich das Materials gemäß der elastischen Verzerrung zusammenzieht.
Dieses Modell lässt sich auf verschiedene Arten mikrostrukturierter Materialien anwenden, es ist sowohl zur Beschreibung zusammengesetzter Materialien mit einer nichtmagnetischen Hintergrundmatrix als auch für polykristalline Strukturen geeignet. Um das effektive Verhalten der Mikrostruktur zu berechnen, werden im Rahmen eines Homogenisierungsansatzes Zellprobleme periodischer Konfigurationen betrachtet. Bei der numerischen Lösung dieser Zellprobleme finden wiederum Randelemente Verwendung, eingebettet in ein Abstiegsverfahren zur Minimierung der Energie.
Dadurch wird der Einfluss von Parametern der mikroskopischen Struktur des Materials, wie beispielsweise die Form, Verteilung und Ausrichtung der Partikel oder die Elastizität der Hintergrundmatrix, auf das makroskopische Verhalten, insbesondere die beobachtete Verzerrung und die geleistete Arbeit, quantifiziert.
Abstract Modeling and Simulation of the Effective Behaviour of Interfaces in Alloys
This thesis is concerned with the modeling and the numerical simulation of phase transitions during the Ostwald ripening of metal alloys and in magnetic shape memory materials. The phase transition is modeled on a continuum level with methods of elasticity theory.
The coarsening of particles in a metal alloy after spinodal decomposition can be seen as a gradient flow: The set of particles moves on the manifold of all possible particle configurations in the direction of steepest descent of an energy functional containing interface energy and elasticity, with respect to a metric tensor describing the diffusion mechanism. The restriction of this evolution onto the submanifold of rectangular particles aligned to the coordinate axes, as they are preferred by the anisotropy of the elasticity tensor, gives a reduced model that describes the evolution of such particles.
The numerical simulation of both models employs the boundary element method. The integral operators occurring are approximated by hierarchical matrices, this approximation also gives an appropriate preconditioner. To avoid the coupling of the time step size to the side length of the smallest particle, one uses localized timesteps close to small particles, where the screening effect makes it possible to restrict to small neighbourhoods of the respective particle. In this way one constructs an efficient method to simulate both models; in the reduced model accordingly the simulation of larger particle ensembles is possible. Comparative computations verify that the reduced model reproduces many important qualitative and quantitative properties of the full model.
Magnetic shape memory materials can be modeled on a continuum scale using a combination of elasticity and micromagnetism. Here, a discrete phase parameter couples the variants of the elastic strain to the magnetic anisotropy. The anisotropy prefers a magnetization in the direction of contraction.
This model can be applied to the description of several types of microstructured material: composites with a non-magnetic background matrix and polycrystalline structures. To compute the effective behaviour of the micro structure, one considers cell problems in the spirit of homogenization theory. The numerical solution of these cell problems uses again the boundary element method, here embedded in a descent algorithm for energy minimization.
Thereby the influence of parameters of the microscopic structure of the material, such as form, distribution and shape of particles or the elasticity of the background matrix, on the macroscopic behaviour, especially the observed strain and the work output, can be quantified.
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© Universitäts- und Landesbibliothek Bonn | Veröffentlicht: 2007